نمادهای جبر از کجا آمدند؟

علامت گرایی نوین در حدود 1500 شروع به نشو و نما کرد. شاید بهترین راه برای بیان فرایند تکوین این امر، ارائه ی مثال هایی است که نه تنها فقر اولیه و گوناگونی بعدی علامت ها، بلکه بهبود تدریجی و استانداردسازی نمادگذاری را نشان می دهند. نمادگذاری نوین، زیر هر یک از شکل های قدیمی تر آن داده شده است.
این که چه کسی علامتی خاص را ابداع کرده، پرسشی است که به تحقیقات گسترده نیازمند است و اغلب نمی توان آن را با قطعیت تعیین کرد. به طور گذرا دو نماد و مخترعان آن ها را می توان ذکر کرد:
2. علامت، احتمالاً صورت دیگری از r به نشانه ی رادیکس (8) («ریشه ی»، «رادیش (9)») به صورت چاپی به وسیله ی کریستوف رودولف (10) در کتاب جبرش دی کوس (1525) معرفی شد.

جبر کاردانو و ویت

سال شاخص، سال 1545 بود: در این سال جیرولامو کاردانو، عالم ایتالیایی، کتاب آرس ماگنا (11) ‍‍‍[= فن کبیر] را منتشر کرد که حاوی راه حل شیپیونه دل فرو (12) برای معادله های درجه سوم و راه حل لودویکو فِراری (13) برای معادلات درجه چهارم بود. این راه حل ها نمایش دهنده ی نخستین مطالب واقعاً نو از عهد باستان به بعد بودند هرچند که این راه حل ها از راه «تدابیر هوشمندانه» و نه پیشرفت در بینش و نظریه به دست آمده بودند.
گرچه سبک علامتی آرس ماگنا نومیدکننده است، کاردانو، علاوه بر انتشار نتایج دیگران
1. نخستین کسی بود که سه ریشه برای معادله ی درجه سوم خاصی را ارائه کرد.
(وی این ظن را داشت که هر معادله ی درجه سوم باید سه ریشه داشته باشد، اما ریشه های منفی و موهومی (14) سبب سردرگمی او شد.)
2. حداقل به معنایی، ریشه های منفی را، که آن ها را «موهومی» نامید، تشخیص داد.
3. این کنجکاوی ذهنی را داشت که ببیند اگر کسی با اعدادی مانند که امروزه آن ها را «مختلط» یا «انگاری» می نامیم، اعمالی انجام دهد، چه رخ می دهد.
4. «حالت تحویل ناپذیر» در حل معادله ی درجه سوم را تشخیص داد.
5. جمله ی x^2 را از معادله ی درجه سوم حذف کرد.
(این فروکاست، از آنچه او فکر می کرد،‌«از لحاظ نظری عمومی» تر بود.)
6. بیان کرد که مجموع سه ریشه ی معادله ی درجه سوم، ضریب خاستگاه اندیشه ی جبری (که جریان کم عمق «حل تدبیرآمیز معادله ها» را از جویبار نوین ژرف تر که با خواص نظری معادله ها آغاز شد جدا می کند) در وجود فرانسوا ویت فرانسوی تجسم یافت. وی نخستین کسی بود که در اثر خود، منطق انواع (15)، حروف را به عنوان ضرایب عمومی (مثبت) معرفی کرد و برخی پرداخت های نهایی در علامت گرایی را انجام داد که سرانجام در زمان آیزاک نیوتن به وضع فعلی درآمد. اما مهم ترین سهم ویت در اثرش، در باب شناسایی و اصلاح معادلات(16)، که پس از مرگش در سال 1615 چاپ شد، گنجایش شده است. در اثر او
1. تبدیل هایی برای افزایش دادن یا ضرب کردن ریشه های یک معادله در عددی ثابت ارائه شد.
2. نشان داد که از روابط بین ریشه ها و ضرایب یک معادله ی چند جمله ای آگاه است.
3. تبدیلی را بیان کرد که جمله ی ماقبل بالاترین درجه ی چندجمله ای را حذف می کند.

پیدایش اعداد مختلط

پیش از دنبال کردن جریان اصلی در تکوین ساختار جبری، به اختصار جریانی موازی و همرو را در پیدایش دستگاه اعداد مختلف دنبال می کنیم و خواهیم دید که چگونه هر یک از این دو، دیگری را تقویت می کند. ناتوانی ویت در پذیرش اعداد منفی (صرف نظر از اعداد موهومی) وی را از دستیابی در ارائه ی، مثلاً، روابط بین ریشه و ضرایب معادله ی چند جمله ای در صورتی کلی که به دنبال آن بود (و تا حدی آن را درک می کرد) بازداشت.
کاردانو احتمالاً می توانست پیشرفت بیشتری هم بکند اگر اعداد موهومی آن چنان برایش گیج کننده نمی بودند. با این حال وی کنجکاوی ذهنی و جسارت آن را داشت که مسئله ی «10 را به دو جزء چنان تقسیم کنید که حاصل ضرب یکی در باقی مانده، 40 باشد» را مورد تفحص قرار دهد، هر چند که وی آن را «آشکارا غیرممکن» نامید. او که جلودار کنجکاوی خود نبود، شجاعانه اعلام کرد که «با این حال به عمل می پردازیم» و دو جواب را (به صورتی که امروزه می نویسیم) به دست آورد. او جواب ها را با نشان دادن این که حاصل ضرب آن ها در واقع 15-(-25)، یا 40 است امتحان کرد و متذکر شد که این جواب ها (عددها) «حقیقتاً پیچیده اند»، و سرانجام نتیجه گرفت (دریغا!) که ادامه ی کار با این اعداد شخص را درگیر حسابی خواهد کرد که «همان قدر که ظرافت دارد، بی فایده هم هست».
آدم دلش می خواهد بگوید که عمل جراحی موفقیت آمیز بود، اما بیمار درگذشت! با این حال واقعیت این است که کاردانو از زمان خود جلوتر بود.
آلبر ژیرار (17)(1629 م) نخستین کسی بود که هم با اعداد منفی و هم با اعداد موهومی با شجاعتی فراوان رویارو شد. وی اعداد منفی را در حل مسائل هندسی به کار برد و چنین مطرح کرد که با پذیرفتن اعداد موهومی نیز به عنوان ریشه، این امکان به وجود می آید که حکم کنید هر معادله ای به تعداد درجه هایش ریشه دارد. او همچنین روابطی را بین ریشه ها و ضرایب معادله ی چند جمله ای بیان کرد و خاطرنشان کرد که ریشه های موهومی در تعمیم این روابط به کمک می آیند. به عنوان مثال، در مورد معادله ی
نمایش هندسی رنه دکارت برای اعداد منفی (1637 م) به قابل پذیرش تر شدن آن ها یاری می رساند؛ و در 1659 یوهان هود (18) گام مهم دیگری برداشت و از یک حرف در فرمول برای هر عدد حقیقی، خواه مثبت خواه منفی، استفاده کرد.
اعداد موهومی به طور موفقیت آمیزی از سوی لئونارد اویلر (19) در سده ی هجدهم به کار گرفته شد و فرمول= 1 e^2πi را به او مدیونیم. برای بسیاری از ریاضیدانان این مطلب ترفندی بزرگ بود، اما به کار خورد. با این حال، اعداد موهومی پس از ارائه ی نمایش هندسی، نخست به دست کاسپار وِسل (20) (1797 م) و سپس ژان رابرت آرگان (21) (1806م) و پس از آن کارل فریدریش گاوس (22) مقبولیت بیشتری یافتند، بعد از آن که گاوس در رساله ای به سال 1831، آن نمایش هندسی را که قبلاً در سال 1811 در نامه ای به بسل (23) توصیف کرده بود، منتشر کرد. تعریف ناب ریاضی عدد مختلط a + bi به عنوان جفتی مرتب مانند (a , b) از اعداد حقیقی تحت قواعد استانداردی برای ترکیب این جفت ها را ویلیام روان همیلتن (24) در سال 1837 ارائه داد. ما امروزه اعداد مختلف را نسبتاً به آسانی می پذیریم، اما گاوس به جایی رسید که خاطرنشان کند که «هستی شناسی واقعی دشوار است. نتایج و شهرت او پذیرش اعداد موهومی را میسر کرد.
در این ارتباط نقل قولی از گوتفرید ویلهلم فون لایب نیتس (25)(1702 م) فرحبخش است که شاید به دلیل تمایلات فلسفی اش از عدد موهومی به عنوان «این موجود شگفت آور دنیایی آرمانی، موجود تقریباً دوزیستی بین چیزهایی که وجود دارند و چیزهایی که وجود ندارند» یاد کرده است.
دکارت (1637 م) اصطلاحات «حقیقی» و «موهومی» را به وجود آورد و اویلر (1777 م) حرف i را به نشانه ی مطرح کرد. اوگوستین لوئی کوشی (26) اصطلاحات «مزدوج» و «هنگ» ‍[=قدر مطلق] را مطرح و گاوس (1831 م) اصطلاح «مختلط» را معرفی نموده است.
پایه گذاری هایی که با کار ویت برای تدوین ساختاری نوین برای جبر آغاز شده بود می بایست دویست سالی در انتظار می ماند تا آن که نیلس هنریک آبل (27)(1824 م) به ویژه اواریست گالوا (28)(1831 م) ایده ی گروه را در برهان های مستقل خود در مورد نبود جواب جبری کلی برای معادله ی چند جمله ای با درجه ای بیش از چهار معرفی کنند. وقتی می گوییم که معادله ی درجه ی دوم
یک جواب جبری عمومی دارد، منظورمان آن است که هر یک از دو ریشه را می توان برحسب تعدادی متناهی از جمع ها، تفریق ها، ضرب ها، تقسیم ها و استخراج ریشه ها که بر روی ضرایب c ,b ,a انجام می شوند بیان کرد. بدین ترتیب، دو ریشه عبارتند از
را می توان بر حسب ضرایب c ,b ,a و d بیان کرد. معادله ی درجه چهارم نیز چنین رفتاری دارد. با این حال، وقتی درجه ی معادله ی چند جمله ای بیشتر از 4 است، هیچ جواب جبری عمومی وجود ندارد.

تکوین مفهوم گروه

طی دویست سال از زمان ویت تا زمان آبل و گالوا، ریاضیدانان بی کار ننشسته بود. مفهوم گروه، البته، به یکباره از آبل و گالوا نشئت نگرفت.
دوره ی از 1600 تا 1800 شاهد ابداعاتی بود مانند اختراع لگاریتم توسط جان نیپر (29)(1614م) و هنری بریگز (30)(1615 م)؛ کار پی یر دو فرما (31) در احتمال و نظریه ی اعداد (1635 م)، و همزمان با دکارت در هندسه ی تحلیلی (1637 م)؛ آغاز نظریه ی احتمال به توسط بلز پاسکال (32)(1653 م) در مکاتبات با فرما؛ کار در سری های دو جمله ای توسط جیمز گریگوری (33) و آیزاک نیوتن (ح 1671 م)؛ بنیادگذاری حسابان به توسط نیوتن و لایب نیتس (ح 1680 م)؛ کار اولیه در آمار بیمه به توسط آبراهام دموآور (34) (1720 م)؛ کار پربار اویلر در هندسه ی تحلیلی (1750 م)؛ و ریاضیات متنوع و عظیمی که توسط ژوزف لوئی لاگرانژ (35)(1780 م)، پی یر سیمون لاپلاس (36)(1805 م)، آدریان ماری لژاندر (37) (1850 م)، کوشی (1820 م) و گاوس (1820 م) به منصه ی ظهور رسید.
در کار برخی از این مردان، دریافتی ضمنی از مفهوم گروه را می توان یافت. در این جا مناسب است که گروه را تعریف کنیم. این تعریف را با ارائه ی مثالی از گروه جایگشت ها تشریح خواهیم کرد، زیرا گروه های جایگشت از لحاظ تاریخی در پیدایش مفهوم گروه اهمیت بسزایی دارند. مجموعه ی G=[I, a, b, c, d, e] را در نظر بگیرید که در آن شش عنصر G، به ترتیب عبارتند از شش جایگشت 123، 132، 213، 231، 312، 321؛ یعنی
I= (1,2,3) که به جای 1، 1، به جای 2، 2، به جای 3، 3 را قرار می دهد.
a= (1,3,2) که به جای 1، 1، به جای 2، 3، و به جای 3، 2 را قرار می دهد.
b= (2 ,1 ,3) که به جای 1، 2به جای 2، 1، به جای 3، 3 قرار می دهد.
c= (2,3,1) که به جای 1، 2، به جای 2، 3، و به جای 3، 1 را قرار می دهد.
d= (3,1,2) که به جای 1، 3، به جای 2، 1، و به جای 3، 2 را قرار می دهد.
e= (3,2,1) که به جای 1، 3، به جای 2، 2، و به جای 3، 1 را قرار می دهد.
«حاصل ضرب» ab به این معنی تعریف می شود که ابتدا جایگشت a اجرا می شود و سپس جایگشت b روی نتیجه ی a اجرا می گردد. به عنوان مثال، a، (1, 3, 2) را ایجاد می کند و با به کار بردن b روی (2، 3، 1)، نتیجه ی (1 ،3 ،2) به دست می آید که c است. بنابراین می گوییم که ab=c. توجه کنید که ba=d و در نتیجه ضرب ما در این مثال، تعویض پذیر نیست. همه ی حاصل ضرب های ممکن در شکل 3 داده شده اند. (برای یافتن حاصل ضرب ab از جدول، حاشیه های چپ و بالایی را [با همین ترتیب] برای a و b به کار ببرید؛ جواب، درایه ی c است که با خط های نقطه چین نشان داده شده است). با رجوع به جدول، خاصیت های تعریف کننده ی زیر برای یک گروه به آسانی قابل امتحان است.
1. مجموع G نسبت به عمل ضربی که تعریف کرده ایم بسته است؛ یعنی حاصل ضرب هر دو عنصر G مجدداً عنصری از G است. به طور مثال، bc = e و e عنصری از مجموعه ی G است.
2. قانون شرکت پذیری به ازای هر سه عنصر از G برقرار است. مثلاً،
(ab)c = a(bc)
c(c) = a(e)
d=d
3. مجموعه ی G دارای عنصر همانی است (در این مثال، I) با این خاصیت که bI = Ib, aI = Ia = a و مانند این ها.
4. هر عنصر G دارای یک وارون است؛ مثلاً می توانیم
x ای پیدا کنیم که ax = I (در واقع، x = a زیرا aa = I).
y ای پیدا کنیم که by = I (در واقع، y = b، زیرا bb = I).
z ای پیدا کنیم که cz = I (در واقع، z = d، زیرا cd = I).
مجموعه ی G گروه نامیده می شود اگر و تنها اگر چهار خاصیت بالا برقرار باشند. برخی گروه ها خاصیت اضافی تعویض پذیری را هم دارند. این گروه ها آبلی (یا تعویض پذیر) نامیده می شوند.
رابطه ی مفهوم گروه با مفهوم میدان را می توان به اختصار با توجه به این مطلب خاطرنشان کرد که مجموعه ی F از اعداد حقیقی، مثالی از یک میدان است؛ زیرا عناصر F در پنج اصل مربوط به گروه تعویض پذیر نسبت به جمع (که در آن عنصر همانی با 0 نمایش داده می شود) صدق می کند؛ عناصر ناصفر F با عمل ضرب در پنج اصل گروه تعویض پذیر دیگری (که در آن عنصر همانی با 1 نشان داده می شود) صدق می کنند؛ و عناصر F در اصل موضوع دیگری موسوم به قانون توزیع پذیری؛ یعنی
a. (b + c) = a.b + a.c
صدق می کنند که ضرب را روی جمع «توزیع» می کند.
برخی مؤلفه های مفهوم گروه (یعنی آن خاصیت های اساسی ای که بعداً تجرید شدند و به عنوان اصل موضوع فرمول بندی شدند) و نیز مفهوم میدان، در زمان هایی به قدمت 1650 ق م قابل تشخیصند؛ یعنی زمانی که مصریان آگاهی غریبی از خود نشان دادند که در بطن فرض ab = ba (با استفاده از نمادهای امروزی) چیزی نهفته است. آرنولد ب.چیس (38) در تفسیرْنوشته اش بر پاپیروس ریند متذکر می شود که روش مصری ضرب، تمایزی بین مضروب و مضروب فیه قائل می شود ولی اضافه می کند که می دانسته اند که اگر این دو با هم جا عوض کنند. حاصل ضرب یکی می شود. مثالی از این تعویض عامل ها در مسئله ی 26 پاپیروس ریند رخ می دهد:

مسئله ی 26

کمیتی و آن وقتی که با هم جمع شوند، حاصل 15 می شود. آن کمیت کدام است؟
فرض کنید 4 است.
مجموع 5
هرچند مرتبه که 5 باید ضرب شود تا 15 را بدهد، همان قدر باید 4 باید ضرب شود تا عدد مطلوب را حاصل کند. 5 را چنان ضرب کنید تا 15 به دست آید.
مجموع 3
3 را در 4 ضرب کنید.
مجموع 15
توجه کنید که در مسئله ی بالا، کاتب مصری معین می کند که 4 باید در 3 ضرب شود. سپس برای به دست آوردن حاصل ضرب، 3 را در 4، در جهت عکس، ضرب می کند. دلیل محتمل برای این کار آن است که مصریان عمل ضرب خود را با دو برابر کردن انجام می دادند، در نتیجه آسان تر بود که در قوای 2 و نه اعداد دیگر ضرب کنند. اگر آن مصری 4 را در 3 ضرب می کرد، مجبور بود که دو برابر و جمع کند:
مجموع ها 12 3
کاتب مصری قانون توزیع پذیری؛ یعنی a (b + c)= ab + bc، را (به نحوه ی نوشتن ما)، اما بدون هیچ ذکری از آن به دلخواه به کار می برد. مثالی از آن در مسئله ی 68 پاپیروس ریند دیده می شود. برای دو برابر کردن 64 / 321 ، که کاتب آن را به صورت
بابلی ها (ح 1700 ق م) نیز قانون های تعویض پذیری و توزیع پذیری را به کار بردند. این قانون ها به طور منحنی در جبر لفظی آن ها، عملاً در استفاده از فرمول هایی نظیر
در نظر گرفته شده بود.
با نگاه به ریاضیات یونانی می توان دید که اقلیدس از ماهیت صریح قانون توزیع پذیری آگاه تر بوده ست. در جبر هندسی مقاله ی II، وی قضیه ی 1 را بیان و ثابت می کند:
اگر دو خط راست در دست باشند، و یکی از آن ها به هر تعداد دلخواهی پاره خط تقسیم شود، مستطیل محصور به وسیله ی دو خط راست برابر با مستطیل هایی است که به وسیله ی خط مستقیم نشده و هر یک از پاره خط ها محصور می شود.
این بدان معناست که (--> شکل ‍[4]-1)
مساحت ELHC + مساحت DKLE + مساحت BGKD = مساحت BGHC
یا
a (b + c + d) = ab + ac + ad
چندی بعد، دیوفانت ملاحظات جالبی درباره ی وارون های ضربی و عنصر همانی، با نوشتن مطلب زیر، به عمل آورد:
هر عددی که در کسری (واحد) ضرب شود که این عدد مخرج آن باشد، واحد را عاید می کند ‍[یعنی، واحد که تغییرناپذیر و همواره ثابت است، عبارت آن وقتی در خودش ضرب شود، همان عبارت اول را می دهد.
اما به نظر می رسد که وارون های جمعی برای وی غیرقابل درک بوده؛ و می بینیم می گوید که معادله ی 4x + 20 = 4، که در این جا با سبک نوین نوشته شده، «ممتنع است زیرا 4 باید عددی بزرگ تر از 20 باشد». وی آمادگی پذیرش عددی منفی 4- را به عنوان ریشه نداشته است.
مفهوم گروه با همان صراحت مؤلفه ها (اصل موضوع ها) ی آن تحقق نیافت؛ اما با این حال پیش از آن که آبل و گالوا آن را مورد توجه قرار دهند، و پیش از آن که آرتور کیلی (39)(1854) گروه مجرد را تعریف کند، به طور ضمنی درک شد و به کار رفت.
شاید بتوان مانند میلر (40) ادعا کرد که مفهوم گروه دوری، «پیش تاریخی» است به این معنی که مردم باستان دایره را با استفاده از تقسیمات برابر محیط آن اندازه می گرفتند، با این که ساعت های 24 ساعتی بابلی ها و مصریان (به طور ضمنی) مثال هایی از گروه های جمعی متناهی هستند که در آن ها 24 به عنوان عنصر صفر به کار رفته است؛ و تا حدی جالب توجه است که آندریاس اسپایسر(41) معتقد است که کار اقلیدس آنچه را که امروزه به عنوان نظریه ی جبری اعداد و نظریه ی گروه ها رده بندی می کنیم، به طور ضمنی در بردارد.
با این حال، برای ارزیابی تحولات از ویت، (1600) تا گالوا (1831) کمتر نیاز به تخیل داریم.
طی سده هفدهم، برای آن ها که با ریشه های n ام واحد کار می کردند، روشن بود که n عنصر، یک گروه دوری ضربی تشکیل می دهند و ریشه های n ام اولیه را می توان به عنوان مولدهای گروه به کار برد.
مثالی دیگر از استفاده از نظریه ی گروه ها در سطح نیمه رسمی-و یک مورد خیره کننده- در برهان اویلر (1760-1761) از تعمیم «قضیه ی کوچک» فرما دیده می شود.
ایده ها را با مثال زیر تشریح می کنیم. فرض کنید که عدد m = pq، حاصل ضرب دو عدد اول باشد. عدد m را برابر pq = 7 × 5 = 35 اختیار می کنیم. حال همه ی اعداد از 1 تا 35 را در یک آرایه ی مستطیلی مرتب و آن ها را که مضرب اعداد صحیح از 1 تا 35 هستند، مثل شکل [5]-1، حذف کنید و آن را به صورت شکل [6]-1 بازنویسی کنید.
تابع موسوم به تابع ی اویلر برابر با تعداد اعداد صحیح مثبت کوچک تر از m و اول نسبت به m تعریف می شود (در این حالت
دقیقاً تقسیم پذیر است مشروط بر این که a و m نسبت به هم اول باشند. در مثال حاضر، این بدان معنی است که دقیقاً بر 35 تقسیم پذیر است مشروط بر این که a ای را اختیار کنیم که هیچ عامل مشترکی با m = 35 نداشته باشد. اگر a = 2 آن گاه قضیه ی اویلر ما را مطمئن می کند
اویلر به هنگام اثبات قضیه، آرایه ای نظیر آن ها که در شکل های [5]-1 و [6]-1 رسم شده اند ساخت که عناصر گروه ضربی (به پیمانه ی m) را نمایش می داد. در مثال اخیر ما، پیمانه m=35 است؛ و برای ضرب کردن 11 در 17، ابتدا حاصل ضرب معمولی (یعنی 187) را به دست می آوریم. سپس آن را بر m = 35 تقسیم می کنیم تا باقی مانده ی 12 را بیابیم که اصطلاحاً حاصل ضرب است. بنابراین می گویم که (به پیمانه ی 35) 12 = 17 × 11؛ به همین نحو (به پیمانه ی 35) 1 = 9 × 4.
جالب ترین مشخصه ی آرایه ی شکل [6]-1 آن است که نخستین ستون، خود یک گروه و به این ترتیب زیرگروهی از تمامی آرایه است.
میلر چنین مطرح می کند که با استفاده از آرایه ی بالا، اویلر در واقع در سطحی نیمه صوری از ایده ای استفاده می کند که بعداً توسط لاگرانژ (1770) فرمول بندی از ایده ای استفاده می کند که بعداً توسط لاگرانژ (1770) فرمول بندی شد و امروزه به قضیه ی لاگرانژ موسوم است و بیان می کند که تعداد عنصرها در نخستین ستون زیرگروه (یعنی 6)، تعداد عنصرها در کل آرایه (یعنی 24) را عاد می کند.
لاگرانژ به این ایده فرمولبندی صریح و عامی داد و نشان داد که تعداد عنصرها در گروه متقارن بر تعداد عنصرها در هر زیرگروه (که البته گروه جایگشت ها است) تقسیم پذیر است. بنابراین، نتیجه ی وی برای گروه های جایگشت های غیرآبلی و نیز گروه های آبلی معتبر بود.
در سال 1779 پائولو روفینی (42) نشان داد که عکس قضیه ی لاگرانژ درست نیست؛ یعنی یک گروه از مرتبه ی n صرفاً به این دلیل که s عدد n را عاد می کند، لزوماً زیرگروهی از مرتبه ی s ندارد. نکته ی تأمل انگیزتر، برهان روفینی (به همان سیاق برهان بعدتر و مستقل آبل مربوط به سال 1824) است از این که (از لحاظ جبری) حل جبری معادله ی چند جمله ای از درجه ی بزرگ تر از چهار غیر ممکن است.
کمی پیش از آبل و گالوا، کوشی (1815) نخستین مقاله ی خود درباره ی نظریه ی گروه ها را منتشر کرد که به گروه های جایگشت ها اختصاص داشت؛ و گاوس (1820) به دستگاه های مدولی رسمیت بخشید (که گروه های دوری جمعی اند). وی نخستین کسی بود که از نماد ≡ به نشانه ی مفهوم همنهشتی استفاده کرد-گرچه البته منشأ خود مفهوم، گاوس نبود. هانس ووسینگ (43) مطرح می کند که تحقیقات حسابی (44) گاوس (1801) را می توان منبعی بالقوه از نظریه ی ضمنی گروه ها دانست؛ این که تعیین به اصطلاح دوره های تابع دایره بُری اساساً معادل تعیین زیرگروه های گروه گالوای معادله ی دایره بری است؛ و این که گاوس، در اثرش درباره ی نظریه ی ترکیب صورت های درجه ی دوم، مجموعه ای از خاصیت ها را به دست آورد، که اصل موضوع تلقی کردن آن ها گروه آبلی را تعریف می کند.

پی نوشت ها :

1. Girolamo Cardano
2. Bombelli
3. Harriot
4. Descartes
5. wallis
6. Robert Recorde
7. The whetstone of witte
8. radix
9. radish
10. Christoff Rudolff
11. Ars magna
12. scipione del Ferro
13. Ludovico Ferrari
14. اصطلاح فعلاً رایج برای این واژه انگاری است اما دست کم در این متن تاریخی - به طوری که بعداً خواهیم دید- لفظ موهومی مناسب تر به نظر می رسد.-م.
15. Logistica speciosa
16. De aequationum recognitione et emendatione
17. Albert Girard
18. Johann Hudde
19. Leonhard Euler
20. Casper Wessel
21. Jean Robert Argand
22. Carl Friedrich Gauss
23. F.W.Bessel
24. William Rowan Hamilton
25. Gottfried Wilhelm Von Leibniz
26. Augustin Louis Canchy
27. Niels Henrik Abel
28. Evariste Galois
29. John Napier
30. Henry Briggs
31. Pierre de Fermat
32. Blasie pascal
33. James Gregory
34. Abraham De Moivre
35. Joseph Louis Lagrange
36. pierre Simon Laplace
37. Adrien Marie Legendre
38. Arnold B.Chase
39. Arthur Cayley
40. G.A.Miller
41. Andreas Speiser
42. paolo Ruffini
43. Hans wussing
44. Disquistiones arithmeticae

منبع: باومگارت، جان[و دیگران]؛ (1385)، تاریخ جبر، محمد قاسم وحیدی اصل، تهران، انتشارات علمی و فرهنگی، چاپ نخست.